4-3-2-6　背理法を利用した証明

問題 1
ある命題を証明する時、
「その命題が成り立たないと仮定すると矛盾が生じる。
したがってその命題は成り立つ」
と主張するような証明法をなんといいますか？

正解　　：背理法

問題 2
√3が無理数であるならば、4+√3も無理数であることを証明しましょう。
①　　　　　　　と仮定すると
4+√3は有理数であるから有理数aを用いて
4+√3=aと表せる。
これを変形すると
√3=②　　　　　　
a,-4はともに③　　　　　　　である。
これは左辺の√3が無理数であることに④　　　　　　。
よって √3 が無理数であるならば4+√3も無理数である。
①に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：4+√3が無理数でない

問題 3
√3が無理数であるならば、4+√3も無理数であることを証明しましょう。
4+√3が無理数でないと仮定すると
4+√3は有理数であるから有理数aを用いて
4+√3=aと表せる。
これを変形すると
√3=②　　　　　　
a,-4はともに③　　　　　　　である。
これは左辺の√3が無理数であることに④　　　　　　。
よって √3 が無理数であるならば4+√3も無理数である。
②に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：a-4

問題 4
√3が無理数であるならば、4+√3も無理数であることを証明しましょう。
4+√3が無理数でないと仮定すると
4+√3は有理数であるから有理数aを用いて
4+√3=aと表せる。
これを変形すると
√3=a-4
a,-4はともに③　　　　　　　である。
これは左辺の√3が無理数であることに④　　　　　　。
よって √3 が無理数であるならば4+√3も無理数である。
③に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：有理数であるから右辺のa-4は有理数

問題 5
√3が無理数であるならば、4+√3も無理数であることを証明しましょう。
4+√3が無理数でないと仮定すると
4+√3は有理数であるから有理数aを用いて
4+√3=aと表せる。
これを変形すると
√3=a-4
a,-4はともに有理数であるから右辺のa-4は有理数である。
これは左辺の√3が無理数であることに④　　　　　　。
よって √3 が無理数であるならば4+√3も無理数である。
④に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：矛盾する

問題 6
√5が無理数であるならば、√5+2も無理数であることを証明しましょう。
①                   と仮定すると
√5+2は②　　　　　　　　　　　　　
これを変形すると
√5=a-2
a,-2はともに③　　　　　　　　　　
これは左辺の√5が無理数であることに④　　　　　　。
よって √5 が無理数であるならば√5+2も無理数である。
①に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：√5+2が無理数でない

問題 7
√5が無理数であるならば、√5+2も無理数であることを証明しましょう。
√5+2が無理数でないと仮定すると
√5+2は②　　　　　　　　　　　　　
これを変形すると
√5=a-2
a,-2はともに③　　　　　　　　　　
これは左辺の√5が無理数であることに④　　　　　　。
よって √5 が無理数であるならば√5+2も無理数である。
②に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：有理数であるから有理数aを用いて √5+2=aと表せる。

問題 8
√5が無理数であるならば、√5+2も無理数であることを証明しましょう。
√5+2が無理数でないと仮定すると
√5+2は有理数であるから有理数aを用いて √5+2=aと表せる。
これを変形すると
√5=a-2
a,-2はともに③　　　　　　　　　　
これは左辺の√5が無理数であることに④　　　　　　。
よって √5 が無理数であるならば√5+2も無理数である。
③に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：有理数であるから右辺のa-2は有理数である。

問題 9
√5が無理数であるならば、√5+2も無理数であることを証明しましょう。
√5+2が無理数でないと仮定すると
√5+2は有理数であるから有理数aを用いて √5+2=aと表せる。
これを変形すると
√5=a-2
a,-2はともに有理数であるから右辺のa-2は有理数である。
これは左辺の√5が無理数であることに④　　　　　　。
よって √5 が無理数であるならば√5+2も無理数である。
④に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：矛盾する

問題 10
√3が無理数であるならば、√6+√2も無理数であることを証明しましょう。
√6+√2が無理数でないと仮定すると
①　　　　　　　　　　　
有理数aを用いて
√6+√2=aと表せる。
この両辺を２乗すると
②　　　　　　=a²
2√12=a²-8
4√3=a²-8
③　　　　=
a²-8
4

右辺の
a²-8
4
は有理数であるから
左辺の④　　　　　　　　　
したがって⑤　　　　　　　　　。
①に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：√6+√2は有理数であるから

問題 11
√3が無理数であるならば、√6+√2も無理数であることを証明しましょう。
√6+√2が無理数でないと仮定すると
√6+√2は有理数であるから
有理数aを用いて
√6+√2=aと表せる。
この両辺を２乗すると
②　　　　　　=a²
2√12=a²-8
4√3=a²-8
③　　　　=
a²-8
4

右辺の
a²-8
4
は有理数であるから
左辺の④　　　　　　　　　
したがって⑤　　　　　　　　　。
②に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：6+2√12+2

問題 12
√3が無理数であるならば、√6+√2も無理数であることを証明しましょう。
√6+√2が無理数でないと仮定すると
√6+√2は有理数であるから
有理数aを用いて
√6+√2=aと表せる。
この両辺を２乗すると
6+2√12+2=a²
2√12=a²-8
4√3=a²-8
③　　　　=
a²-8
4

右辺の
a²-8
4
は有理数であるから
左辺の④　　　　　　　　　
したがって⑤　　　　　　　　　。
③に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：√3

問題 13
√3が無理数であるならば、√6+√2も無理数であることを証明しましょう。
√6+√2が無理数でないと仮定すると
√6+√2は有理数であるから
有理数aを用いて
√6+√2=aと表せる。
この両辺を２乗すると
6+2√12+2=a²
2√12=a²-8
4√3=a²-8
√3=
a²-8
4

右辺の
a²-8
4
は有理数であるから
左辺の④　　　　　　　　　
したがって⑤　　　　　　　　　。
④に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　： √3が無理数であることに矛盾する。

問題 14
√3が無理数であるならば、√6+√2も無理数であることを証明しましょう。
√6+√2が無理数でないと仮定すると
√6+√2は有理数であるから
有理数aを用いて
√6+√2=aと表せる。
この両辺を２乗すると
6+2√12+2=a²
2√12=a²-8
4√3=a²-8
√3=
a²-8
4

右辺の
a²-8
4
は有理数であるから
左辺の √3が無理数であることに矛盾する。
したがって⑤　　　　　　　　　。
⑤に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：√6+√2は無理数である

問題 15
nを自然数とするとき
√2が無理数であるならば、√2n も無理数であることを証明しましょう。
√2n が有理数であると仮定すると
有理数aを用いて
①　　　　　　　　。
これを変形すると
②         =
a
n

a
n
は有理数であるから
√2が無理数であることに③　　　　　。
したがって
④　　　　　　　　　　　　　　　　　。
①に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：√2n=aと表せる

問題 16
nを自然数とするとき
√2が無理数であるならば、√2n も無理数であることを証明しましょう。
√2n が有理数であると仮定すると
有理数aを用いて
√2n=aと表せる
これを変形すると
②         =
a
n

a
n
は有理数であるから
√2が無理数であることに③　　　　　。
したがって
④　　　　　　　　　　　　　　　　　。
②に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：√2

問題 17
nを自然数とするとき
√2が無理数であるならば、√2n も無理数であることを証明しましょう。
√2n が有理数であると仮定すると
有理数aを用いて
√2n=aと表せる
√2=
a
n

a
n
は有理数であるから
√2が無理数であることに③　　　　　。
したがって
④　　　　　　　　　　　　　　　　　。
③に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：矛盾する

問題 18
nを自然数とするとき
√2が無理数であるならば、√2n も無理数であることを証明しましょう。
√2n が有理数であると仮定すると
有理数aを用いて
√2n=aと表せる
これを変形すると
√2=
a
n

a
n
は有理数であるから
√2が無理数であることに矛盾する
したがって
④　　　　　　　　　　　　　　　　　。
④に当てはまる式、文を選びましょう。

正解　　：√2が無理数であるならば、√2n も無理数である